8) Teorie produkce, produkční funkce, produkční křivky

Mikroekonomie

8. Teorie produkce, produkční funkce, produkční křivky

Příčiny existence firmy:
• Výhody týmové práce
• Snížení nákladů spojených s uzavíráním kontraktů
Firma se soustřeďuje na 3 hlavní činnosti:
1. nákup služeb výrobních faktorů
2. organizace jejich přeměny ve výstup
3. prodej výstupu
Cílem firmy je maximalizace zisku.
Účetní zisk je rozdíl mezi příjmy a explicitními náklady (vynaloženy na nákup výrobních faktorů ve vlastnictví jiných subjektů).
Ekonomický zisk je rozdíl mezi příjmy a ekonomickými náklady (součet explicitních a implicitních nákladů, což jsou náklady obětované příležitosti).

Volba technologie
Chování firmy je omezeno technologickými a finančními možnostmi firmy. Volba technologie je popsána produkční funkcí, což je vztah mezi množstvím vstupů, které byly použity ve výrobě v daném období a maximálním objemem výstupu, který vstupy svým fungováním v daném období vytvořily.
Produkční funkce: Q = f (K, L) – má tyto vlastnosti:
• výstup může být vyroben různými kombinacemi vstupů
• ukazuje technologická omezení výroby, protože vychází z dané úrovně technologie
• firmy používají k tvorbě výstupu nejefektivnější kombinaci vstupů
Krátké období – služby alespoň jednoho výrobního faktoru jsou fixní (zpravidla kapitál) – výnosy pouze z jednoho variabilního výrobního faktoru
Dlouhé období – všechny vstupy jsou variabilní – základní vlastnosti produkční funkce v dlouhém období:
• substituce vstupů
• výnosy z rozsahu vstupů

Krátkodobá produkční funkce
Celkový produkt je výstup, který je vyroben danými vstupy (celkový fyzický produkt – TPP).
Průměrný produkt je výstup na jednotku vstupu:
• Průměrný produkt variabilního vstupu práce – APL = Q / L
• Průměrný produkt fixního vstupu kapitálu – APK = Q / K
Mezní produkt je změna celkového produktu v důsledku změny vstupu o jednotku za předpokladu konstantního množství ostatních vstupů:
• Mezní produkt práce – MPL = Q / L
• Mezní produkt kapitálu – v krátkém období není definován
Grafy str. 155
Jestliže jsou do výrobního procesu přidávány stále stejné přírůstky variabilního vstupu, přičemž množství ostatních vstupů se nemění, výsledné přírůstky celkového produktu budou od určitého bodu klesat, tj. bude klesat mezní produkt variabilního vstupu – zákon klesajících výnosů.
Mezní produkt dosahuje svého maxima, když: MPL / L = 2Q / L2 = 0
Průměrný produkt je maximální pokud se rovná meznímu produktu.
Maximálního výstupu je dosahováno pokud mezní produkt se rovná 0.

Produkční funkce se skládá ze dvou částí:
• V první se prosazují rostoucí výnosy z variabilního vstupu
• Ve druhé klesající výnosy variabilního vstupu

Výrobní stadia v krátkém období
• 1. výrobní stadium – roste průměrný produkt – roste efektivnost fixního vstupu – roste efektivnost variabilního vstupu (mezní produkt práce zůstává kladný a je vyšší než průměrný produkt práce)
• 2. výrobní stadium – efektivnost fixního vstupu roste – efektivnost variabilního vstupu klesá (mezní produkt práce klesá, ale stále zůstává kladný)
• 3. výrobní stadium – klesá výstup – klesá efektivnost fixního i variabilního vstupu – mezní produkt práce je záporný

Rostoucí výnosy z variabilního vstupu: Q = a + b * L + c * L2
Klesající výnosy z variabilního vstupu: Q = a + b * L – c * L2
Konstantní výnosy z variabilního vstupu: Q = a + b * L
Grafy str. 159-161
Většinou nejprve růst mezní produktivity variabilního vstupu a poté její pokles:
Q = a + b * L + c * L2 – d * L3 Graf str. 155

Dlouhodobá produkční funkce
Výrobní faktory jsou variabilní. Grafickým znázorněním dlouhodobé produkční funkce je izokvantová mapa.

Izokvanta
Křivka, která je tvořena všemi kombinacemi vstupů vedoucími k tvorbě stejného výstupu. Obr. str. 163. Vlastnosti izokvant:
• izokvanta bližší k počátku představuje kombinace vstupů vedoucí k nižšímu výstupu
• izokvanty jsou seřazeny z kardinálního hlediska
• izokvanty se neprotínají
• izokvanty jsou klesající a konvexní k počátku

Mezní míra technické substituce (MRTS)
Vyjadřuje míru, ve které firma může nahrazovat kapitál prací, aniž by se změnila velikost výstupu. Pro velmi malé změny MRTS = -d K / d L Q = Q1
Zmenšení výstupu plynoucí z poklesu kapitálu: - K * MPK
Zvětšení výstupu plynoucí z použití většího množství práce: L * MPL
- K * MPK = L * MPL - K / L = MPL / MPK
- K / L = MRTS = MPL / MPK
Mezní míra substituce podél izokvanty klesá. Efektivnost daného vstupu závisí na používaném množství obou vstupů.

Elasticita vzájemného nahrazování vstupů
Elasticita substituce () je procentní změna poměru vstupů (K / L) dělená procentní změnou mezní míry technické substituce: = (d (K / L) / d MRTS) * (MRTS / (K / L))
Vysoký koeficient elasticity substituce – relativně málo zakřivené izokvanty – relativní snadnost vzájemného nahrazování vstupů
Koeficient elasticity substituce = - izokvanty jsou lineární – dokonale nahraditelné vstupy
Nízká hodnota koeficientu elasticity substituce – velká míra zakřivení izokvant
Koeficient elasticity substituce = 0 – izokvanty mají tvar písmene L – Vstupy nejsou vzájemně nahraditelné
Grafy str. 170

Optimální kombinace vstupů
Přímka obsahující všechny kombinace práce a kapitálu, které mohou být pořízeny za dané celkové náklady se nazývá izokosta: TC = w * L + r * K (TC – celkové náklady, w – cena jednotky práce, r – cena jednotky kapitálu, L – objem použité práce, K – objem použitého kapitálu). Směrnice izokosty je w / r.
Optimální kombinace vstupů znamená, že míra, ve které je firma technicky schopná nahradit kapitál prací (MRTS), se rovná míře, v níž je schopná tuto substituci na trhu uskutečnit (w / r).
Nákladové optimum: MRTS = w / r MPL / MPK = w / r MPL / w = MPK / r
Firma bude minimalizovat své náklady, jestliže bude mezní produkt z jedné Kč vynaložené na nákup vstupů u všech používaných vstupů stejný (pravidlo nejnižších nákladů).
Geometricky je nákladové optimum bodem dotyku izokvanty a izokosty. Obr. str. 174

Křivka rostoucího výstupu
Soubor kombinací vstupů, při kterých firma minimalizuje náklady při výrobě různých objemů výstupu. Podél této křivky zůstává mezní míra technické substituce konstantní. Obr. str. 176

Výnosy z rozsahu
• růst objemu každého ze vstupů o t procent způsobí růst výstupu rovněž o t procent – konstantní výnosy z rozsahu: f (t * K, t * L) = t * f (K, L) = t * Q
• zvýšení objemu každého z používaných vstupů o t procent povede ke zvýšení výstupu o více než t procent – rostoucí výnosy z rozsahu: f (t * K, t * L) t * f (K, L) = t * Q
• růst každého ze vstupů o t procent vede k růstu výstupu o méně než t procent – klesající výnosy z rozsahu: f (t * K, t * L) t * f (K, L) = t * Q
Dlouhodobá produkční funkce s n vstupy:
f (t * X1, t * X2, …, t * Xn) = tk * f (X1, X2, …, Xn) = tk * Q
• pokud k = 1, v produkční funkci se prosazují konstantní výnosy z rozsahu – vzdálenosti mezi izokvantami se nemění
• pokud k 1, usuzujeme na rostoucí výnosy z rozsahu – izokvanty se vzájemně přibližují
• pokud k 1, usuzujeme na klesající výnosy z rozsahu – izokvanty se navzájem vzdalují
Obr. str. 179
Příklady produkčních funkcí:
• Lineární produkční funkce: Q = a * K + b * L – obsahuje konstantní výnosy z rozsahu – lineární izokvanty
• Produkční funkce v případě fixních proporcí vstupů – izokvanty mají tvar písmene L – Q = min (a * K, b * L) – výstup Q je omezen menší ze dvou hodnot v závorce:
- pokud a * K b * L, potom Q = a * K – základním omezením je množství kapitálu - MPL = 0
- pokud a * K  b * L, potom Q = b * L – základním omezením je množství práce - MPK = 0
- pokud a * K = b * L, firma vyrábí měnící se výstup s kombinacemi práce a kapitálu v patách pravoúhlých izokvant
Konstantní výnosy z rozsahu.
• Cobb-Douglasova produkční funkce: Q = f (K, L) = A * Ka * Lb – grafickým znázorněním je mapa izokvant, které mají konvexní tvar vzhledem k počátku – charakter výnosů odvodíme vynásobením všech vstupů kladnou konstantou t:
f (t * K, t * L) = A * (t * K)a * (t * L)b = A * ta+b * Ka * Lb = ta+b * f (K, L)
- pokud a + b = 1 potom konstantní výnosy z rozsahu
- pokud a + b 1 potom rostoucí výnosy z rozsahu
- pokud a + b 1 potom klesající výnosy z rozsahu

Technický pokrok
Výstup je možno vyrobit s menším množství vstupů, takže izokvanta se posune doleva dolů.
Q = A (t) * f (K, L), kde A (t) představuje technický pokrok v čase. Rozlišujeme:
• neutrální technický pokrok: Q = A (t) * f (K, L)
• kapitálově náročný technický pokrok: Q = f A (t) * K, L
• pracovně náročný technický pokrok, který ovlivňuje pouze produktivitu práce: Q = f K, A (t) * L

Zjišťování optimální kombinace vstupů str. 185-186

9. Přednáška - Teorie spotřebitele – mezičasový výběr

Teorie spotřebitele – mezičasový výběr

Spotřebitel se rozhoduje kolik spotřebuje v současnosti a kolik v budoucnosti. Můžeme znázornit prostřednictvím indiferenční analýzy. MU se řídí:
a) netrpělivostí – dáváme přednost spotřebě současné před budoucí
b) nasycenosti spotřeby – když omezíme současnou spotřebu a přesuneme ji do budoucna, kdy nám může přinést větší užitek


Křivka IC znázorňuje kombinaci současné a budoucí spotřeby, která přináší spotřebiteli stejný užitek.
Posun po IC nahoru znamená nahrazování současné spotřeby spotřebou budoucí při stejném uspokojení.

Mezní míra časové preference
Kolika jednotkami budoucí C musí spotřebitel nahradit ztrátu jednotky současné C při stejném uspokojení. Je rovna IC v daném bodě.

V tomto modelu možnosti představují současnou a očekávanou budoucí C.
Co spotřebitel nespotřebuje, může uspořit. Spotřebitel může spotřebovávat i na dluh.

Zavádíme veličiny:
Současný důchod Y1
Budoucí důchod Y2
Reálná ú.m. r

PŘ:
Y1 = 100, Y2 = 50, r = 5 %
Maximální budoucí spotřeba (v současnosti nespotřebováváme nic)
= Y1 * (1+r) + Y2 100*1,05 + 50 155 (bod B v grafu č. 10)

Maximální současná spotřeba (vypůjčíme si celý budoucí důchod na současnou spotřebu)
= Y1 + Y2 / (1+r) 100 + 50 / 1,05 147,6 (bod D v grafu č. 10)

Další kombinace na rozpočtové linii. Spotřeba 2. období je dána rovnicí:

C2 = Y2 + (Y1 – C1)*(1+r), po úpravě C2 = Y2 + Y1 * (1+r) – C1 * (1+r)
Sklona LR je tedy dán –(1+r)

Z grafu č. 10 lze vyčíst:
0C je spotřebováno v současnosti, částka CY1 je uspořena.
V 2. období spotřebováno 0Y2 a může zvýšit spotřebu o Y2A, což se rovná CY1 * (1+r).

Při růstu (r) roste budoucí spotřeba a snižuje se současná C (vyplatí se spořit)

Růst (r) má dva efekty:
A) substituční efekt – růst (r) zdražuje současnou C
B) efekt bohatství – růst (r) zvyšuje bohatství v budoucnu a člověk má v budoucnu tendenci více spotřebovávat snižuje úspory v budoucnu

Výsledný efekt závisí na tom, který efekt u spotřebitele převáží.


Trh výrobních faktorů

Existencí firem, které uspokojují naše potřeby za nás, se snižují transakční náklady.
Cílem podniku předpokládáme zisk.

Rozhodování o výrobě může probíhat v různých časových rovinách. Rozlišujeme 4 časová období:
1. velmi krátké období - okamžité období, momentální stav
2. krátké období – alespoň 1 vstup je fixní. Fixní je K analýza využití kapitálu
3. dlouhé období – všechny vstupy jsou variabilní
4. velmi dlouhé období – uvažuje vliv vědecko-technického pokroku

Nás bude zajímat krátké a dlouhé období. Nedá se přesně určit délka období. Rozlišujeme podle proměnlivosti vstupů.


Produkční fce v dlouhém období

Q = f(a, b, c,…,z)
Kde Q je maximální výstup a hodnoty v závorce jsou vstupy.
Maximální výstup je závislý na výrobních faktorech. Ukazuje nám jak množství výstupu závisí na využití specifických vstupů nebo zdrojů. Je to maximální výstup, který může být vyroben.
Omezujeme se pouze na dva vstupy a to na K a L.

Q = f(K, L)

Můžeme znázornit:
a) graficky (viz. Obrázek č.2 a č. 3)
b) tabulkou (viz. Obrázek č.1)
c) rovnicí

Danou úroveň Q můžeme získat možnou kombinací K a L.

Řeší se podobně jako teorie spotřebitele. Křivky:
Izokvanta – spojuje kombinace L a K, s kterou lze získat stejné množství výstupu.
Izokosty – vyjadřují kombinace L a K, které si může firma dovolit se stejnými náklady

Ze sklonu izokvant můžeme odečítat jak bude firma substituovat jeden vstup druhým vstupem.

Mezní míra technické substituce (MRTS)
- sklon izokvanty

= ∆K/∆L = -MPL/MPK kde MPL je mezní produkt práce a MPK je mezní produkt kapitálu
Tvar izokvant
a) Když je MRTS klesající, konvexní k počátku, jsou vstupy nedokonalými substituty
b) Když nelze jeden vstup nahrazovat druhým, MTRS = 0, izokvanty mají tvar L, jsou vstupy nesubstituční
c) Když MRTS je konstanta, izokvanta je přímka, substituují se vstupy v dokonalém poměru, jsou vstupy dokonalé substituty

Izokvanty jsou zpětně zakřiveny mezní produkt může být záporný = celkový Q se s růstem faktorů snižuje. (např. když zaměstnavatel zaměstná moc pracovníku, budou se navzájem překáže, produkt bude nižší, než kdyby jich bylo míň). Takové chování je neefektivní.
Zpětně zakřivené části izokvant (tam, kde mají kladný sklon) představují technicky neefektivní kombinace výroby.
Jestliže má izokvanta negativní sklon, zahrnuje technicky efektivní kombinace výroby, protože kdybychom ubrali jeden výrobní faktor při stejném objemu 2. faktoru, musel by Q klesnout.

Když označíme inflexní body (tam kde se mění sklon izokvanty) a tyto části odsekneme, to co zůstane uvnitř je ekonomický region produkce, který zahrnuje technicky efektivní kombinace výroby. (viz. Obrázek č. 6)

Ekonomicky efektivní kombinace výroby jsou v bodech, kde se střetávají izokvanty a izokosty. Je to taková kombinace vstupů, která umožňuje vyrobit Q s nejnižšími náklady.

Která z technicky efektivních kombinací bude zároveň ekonomicky efektivní, záleží na relativních cenách výrobních faktorů sklon izokvanty je dá poměrem cen vstupů


V ekonomicky efektivních kombinacích se sklony izokvant a izokost rovnají.


Při zvýšení nákladů se izokosta posunuje rovnoběžně doprava nahoru.

Stezka dlouhodobé expanze (EP)
- kombinace L a K, kdy vyrábíme Q s nejnižšími náklady při různých úrovních nákladů.
- Dlouhodobá, jelikož dochází ke změně všech výrobních faktorů

Krátkodobá stezka expanze (TP)
- dochází pouze ke změně L, K je stejná
- kdyby chtěla firma zachovat velikost výstupu a snížila by L, vyráběla vy s vyššími náklady.

Výnosy z rozsahu
- sleduje se jak působí změna vstupů na změnu výstupu
- předpokládá se, že vstupy se mění proporcionálně (stejně)

Rozlišujeme:
a) rostoucí (růst vstupů větší růst Q)
b) konstantní (růst vstupů Q roste stejně rychle)
c) klesající (růst vstupů pokles Q)

Produkční funkce ukazuje, ...

Produkční funkce ukazuje, že vzrůstající počet dělníků (při neměnném počtu 5 pil - fixní faktor) zvyšuje produkci, ale postupně se přírůstky produkce snižují (viz. následující obrázky).


Produkční funkce
- Funkce celkového produktu (TP – Total Product) popisuje závislost celkového produktu na množství výrobního faktoru (viz. příklad: počet sad prken celkem).

- Průměrný produkt výrobního faktoru (AP – Average Produkt) získáme, když dělíme celkový produkt počtem jednotek výrobního faktoru.

- Mezní produkt výrobního faktoru (MP – Marginal Produkt) je přírůstek produkce, dosažený zvýšením daného faktoru o jednotku, při ostatních faktorech neměnných (viz. příklad: přírůstek sad prken).